微分方程（1），吃透基本概念——复数，等价方程及矩阵理论

了

I

_n的不等时，就可以更换成上标n。那些坐落于一个大线所罗列的非一个大线项为零的战象指做

上一个大整数（上一个大整数

并不一定可得

）

。

我们并不一定0整数

O

_n为nXn整数，它所有的锕系元素都是0。所以

O

_n也是一个大线。

我们可以用

消元法

来解法经典力学。忽略消去操作过程很大程度上依赖每个定律当中相符变量的分量。

把经典力学的分量和经典力学右边的公式放在一同想得到一个

祯整数

。求出这个祯整数可以想得到经典力学的解法。忽略，当分量整数重构为单位整数时，右边的分量罗列就是

解法非零

。

从整数

A

到整数

B

的微积分步骤指作

初等自为沙法

。这些沙法分为三种类别：

交换任意倒置。

将悄悄相沙一个正数非零。

将悄悄的α倍添沙到另悄悄的β倍。

这里的关键点是

初等

自为沙法用另一个经典力学更换了一个经典力学

，

后者的解法集与前者的解法集相同

。这种解法法指做

高斯消去法

。

置m×n整数

A

和

B

为：

对于所有的i和j，如果a_ij=b_ij，则

A

=

B

。因此，两个整数大于，这样一来整数相应项大于。

我们直到现在并不一定整数

A

+

B

和整数与任意非零k的幂：

由侧面的并不一定可以想得到下罗列拓扑学规则：

A

+

B

=

B

+

A

A

+(

B

+

C

)=(

A

+

B

)+

C

A

+

O

=

A

A

+(-1)

A

=

O

A

=

O

k(h

A

)=(kh)

A

k(

A

+

B

)=k

A

+k

B

(k+h)

A

=k

A

+h

A

用第一罗列更换第悄悄，用第二罗列更换第二自为，以此类推，直到所有的罗列都变成自为。由这个交换想得到的整数指做原整数的

特征向量

，[a_ij]1]T=[a_ji]。我们用

A1]T

来暗示A的特征向量。

一个非零的特征向量是

一个只有悄悄的整数

，有时指做

自为非零

。为了尽量避免混淆，我们用逗号分隔自为非零的各个锕系元素。

请忽略，特征向量和沙法的并不一定道出了这样的得出结论：

C=A+B这样一来C1]T=A1]T+B1]T。

如果整数A等于它自己的特征向量，即

A1]T=A

，那么它就是

等距的；

如果

A1]T=-A

，那么它是反等距的。等距整数和反等距整数才会是战象。

如果

A

是m×q整数，锕系元素为a_ij ；

B

是q×n整数，锕系元素为b_ij，那么整数

C=AB

是m×n整数，c_ij为：

为了使侧面的并不一定有意义，

A

的每悄悄才会有和

B

的每一罗列有一样多的锕系元素。这这样一来

A

的罗列数才会与

B

的自为数相同。

因此，如果A是2×3整数, B是3×3整数，那么

AB

是有并不一定的，而

BA

不能并不一定。因此整数幂是

不保证下述

的。

所罗列断言适用于所有

不等兼容性

的A、B和C：

A

(

BC

)=(

AB

)

C

A

(

A

+

C

)=

AB

+

AC

(

B

+

C

)

A

=

BA

+

CA

能说明整数幂的连续性的一个范例：

这声指即使

A

和

B

都不为，

AB

也可以是。

两个整数整数的特征向量，是它们特征向量的逆序整数：

这个结果扩展到三个或更多个整数的整数。

整数幂提供了一种将经典力学写出紧凑基本的方式。

侧面可以写出

Ax

=

b

。我们将反改用作这个表达。在不确实

A

的不等的才会，我们理论上

A

是m×n，因此

x

是一个有n个锕系元素的非零，

b

是一个有m个锕系元素的非零，尽管在大多数应用当中m=n。

为了达到近似于的目的，我们更换成了

整数逆

的上标。如果假定一个战象

B

，使

AB

=

I

=

BA，

那么战象

A

就亦然难以捉摸的，或者说有一个逆，或者说是可逆的。很明显，不是所有的整数都有逆整数。

由于A的逆整数只有一个，所以如果

AB

=

I

=

BA

成立，我们指

B

为

A

的逆整数，并将

B

写出

A

1](-1)。用这种暗示法，

AB

=

I

=

BA

可以写出

AA1](-1)=(A1](-1))(A)=I

。

一个总括的战象就是一个A1](-1)不假定的战象。这样的整数指做

难以捉摸或总括整数。

如果

A

是2x2整数

且ad-bc≠0，那么

等式（5）

理论上A和B都是可逆的。那么

(

A

1](-1))1](-1)=

A

(

AB

)1](-1)=(

B

1](-1))(

A

1](-1))

(

A

1]T)1](-1)=(

A

1](-1))1]T

等式（6）

理论上

A

是可逆的。那么

Ax=b

有且只有一个解法，

x

=

A

1](-1)

b

。

得出结论（1）

当且大部分当A是难以捉摸阵时，经典力学

Ax=0

有解法

x≠0

。当且大部分当A是可逆的，这个经典力学只有解法

x=0

。

并不一定与整体等式

A

的等价是一个只在

战象

当中并不一定的

非零，

记作det(

A

)。它有n的康威项，每一项是

A

的锕系元素的正负整数：

其当中第二个上标，由∗暗示，是进制之一，其当中不能一个被用作两次。百分比k是第二个上标的

逆不动点

。因此，

由于进制的每个排罗列都有一项，所以侧面的和构成n的康威项。由于这个原因，实际上并不用作侧面的求和来推算。如果n=2，并不一定是更易用作的，

有两种惯用的det(

A

)的常量方式。在本节当中，我们将探讨最高效的方式。该方式依赖两个整体等式：

等式（7）

如果

A

是上或下一个大整数，一个大锕系元素为a_11，a_22，…，a_nn，那么det(A)=(a_11)(a_22)…(a_nn)。

等式（8）

置

A

是一个战象。

如果

A

的倒置锕系元素对调转变成

B，

那么，det(

A

)=-det(

B

)

如果

A

的悄悄相沙k想得到

B，

那么kdet(

A

)=det(

B

)

如果

A

的悄悄的倍数沙到

A

的另悄悄转变成

B

, 那么det(

A

)=det(

B

)

这两个等式为推算等价提供了一种有效的方式。忽略，

等式8

刻画了

初等自为沙法

对det(

A

)的影响。

我们可以快速准确地推算初等自为DFT的结果。所以对于含有存留公式项的整数，自为化成一个大整数是推算等价的正因如此方式。对于有变量项的整数，通常用作其他方式。

由于整数幂和等价的并不一定精细，

整数的等价

和

等价的整数

之间假定着一种恰当的关系：

等式（9）

如果

A

和

B

是战象，det(

AB

)=det(

A

)det(

B

)

如果det(

A

)=0，那么

A

一定是难以捉摸的。反之亦然。

等式（10）

det(

A

)=0是A是难以捉摸的一个线性定律。

等式（11）

对于每个战象

A，

det(

A

)=det(

A

1]T)

a_ij的余子式是

，

更换成

A

的第i自为和第j罗列转变成的整数的等价。

a_ij的拓扑学余子式写出

A

_ij，等于余子式相沙 (-1)1](i+j)。拓扑学余子式的最主要性是由于所罗列的最主要等式：

等式（12）

对于每个i和j，

经典力学

Ax=0

可以有无穷多个解法。为了刻画这种系统设计的所有解法的集合，我们才会首先理解法

等价相关联

的方式论。

理论上存留k个非零a_1， a_2，…，a_k和k个非零c_1 ，c_2…，c_k。考虑到变量

不是全部为零如果侧面的定律对某些非零成立（不是全部为零），那么非零a_1，a_2，…，a_k就是

等价相关

的，非零c_1，c_2，…，c_k就常指

权值

。由上式相符合

其当中 c_1≠0。侧面的定律声指a_1是其他非零的“沙权和”。

如果一个给定的非零四组不是等价相关的，那么它指做

等价相关联的

。由于等价相关联的集合不可能假定

依赖关系

，

这样一来所有的非零分量才会是零。

一般来说，我们很难这样一来判定一个非零四组显然等价相关联的，也很难这样一来求出权值（如果非零四组是等价相关的）。

但我们可以把上式重写为整数非零的基本，为此，并不一定一个整数

A

，它的罗列是非零a_1，a_2，…，a_k，它的项的权值是c_1，c_2，…，a_k。因此：

棍子据整数幂的并不一定：

因此，当且大部分当

Ac=0

假定正数解法时，整数

A

的罗列非零才是等价相关联的。那么，

c

的锕系元素就是权值。

如果整数

A

是战象，那么基于等价相关的等价的参量是可能和便利的。整体的哲学思想是：如果A是可逆的，那么推论1，系统设计

Ac+0

只有

，因为

证明了

c

一定是0。下面的等式将det(

A

)与

A

的自为和罗列的等价相关联联系起来。

等式（13）

当且大部分当det(

A

)≠0时，n×n整数

A

的自为(罗列)是等价相关联的。

。

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